Permutasi kombinasi

Permutasi

Definisi: Permutasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh P (n, k) dan dirumuskan sebagai berikut:

P (n, k) = n!/(n-k)!, dalam hal ini k< atau = n

Contoh soal:

1. Hitunglah P (5, 2)

    Jawab:

    P (5, 2) = 5!/(5-2)!

                 = 5!/3!

                 = 5 x 4 x 3!/3!

                 = 20

2. Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7?

Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)!

             = 3!/1!

             = 3 x 2 x 1!/1!

             = 2 x 3

             = 6

Permutasi dengan Beberapa Elemen Sama

Definisi: Jika dari n obyek terdapat p, q, r, ... obyek yang sama maka permutasi dari n obyek tersebut adalah n!/p! q! r!

Contoh soal:

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3!

Jawab:

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 6 angka yang disusun dari 2 buah angka 1, 3 buah angka 2, dan 1 buah angka 3 adalah:

6!/2! 3! 1! = 60 bilangan

Permutasi Siklis

Definisi: Permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)! cara.

Contoh soal:

Empat orang siswa masuk perpustakaan sekolah. Mereka membaca di meja bundar. Berapa banyak cara agar keempat siswa dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

Jawab:

Banyaknya cara posisi duduk 4 orang yang menghadap meja bundar adalah:

(4-1)! = 3! = 6 cara

Ilustrasi bersumber dari Google

Kombinasi

Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh C (n, k) dan

C (n, k) = n!/(n-k)!k!, dalam hal ini k < atau = n.

Contoh soal:

1. Hitunglah C (5, 2)

    Jawab:

    C (5, 2) = 5!/(5-2)!2!

                 = 5!/3! 2!

                 = 5 x 4 x 3!/3! 2!

                 = 5 x 4/2 x 1

                 = 20/2

                 = 10

2. Dari 3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis. Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?

Jawab:

Banyaknya pasangan ganda bulu tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)

C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!

             = 3!/1! 2!

             = 3 x 2!/1! 2!

             = 3/1

             = 3

3. Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...

Jawab:

Dalam babak penyisihan, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.

C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!

               = 25!/23! 2!

               = 25 x 24 x 23!/23! 2!

               = 25 x 24/ 2 x 1

               = 600/2

               = 300

Nah, mungkin hanya sampai situ saja ya Zuwaily menjelaskan permutasi dan kombinasi. Moga dapat bermanfaat. Dan sebagai latihan, ada beberapa soal buat sobat:

1. Perulangan tidak diperkenankan. Ada angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, 9.

    a. Berapa banyak bilangan terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka-angka di atas?

    b. Berapa banyak di antara mereka (jawaban a) yang lebih kecil dari 400?

    c. Berapa banyak yang genap?

    d. Berapa banyak yang habis dibagi 5?

2. Dalam suatu ujian seorang mahasiswa harus mengerjakan 8 dari 10 soal. Berapa banyak ragam soal, bila:

    a. Ia harus mengerjakan sembarang nomor?

    b. 3 soal pertama wajib dikerjakan?

    c. Paling sedikit 4 dari 5 soal pertama wajib dikerjakan?

3. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 6 orang. Calon yang tersedia terdiri dari 5 pria dan 4 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 3 pria adalah...

Sekali lagi, semoga bermanfaat dan salam Matematika ^^.